（もともと「Yahoo!知恵袋」の「知恵ノート」だったものを転載しています）
（最終更新日時:2016/5/27）投稿日：2011/10/17
はじめに
現代のコンピュータでは、負の整数を表現する・整数の引き算をするために、「２の補数（complement）」が、よく使われます。
「知恵袋」では、時折り、「補数」についての質問を見かける事がありますが、質問文を見ますと、質問者の方々は、どうにも「掴めていない」という悩みをお持ちのようです。
しかし、私に言わせれば、それは質問者のせいではなく、教え方や、テキストの書き方が悪いのです。 補数による引き算は、決して難しくなく、分かってしまえばとても簡単なものです。
高級な数学理論はさておいて、簡単な言葉だけで「２の補数」による引き算を説明し、きっちり理解していただくのが、このノートの目的です。 いったん挫折してしまった方、いまひとつ自信が持てない方でも、きっと、大丈夫です。
（ただし、すでに２進数での数値の書き方や、足し算、１０進数との相互変換などを学んだ方が対象です）
前提
補数を考える時、大前提となるのは、「有効桁数を決める」ことです。 補数という言葉が出てきた時点で、必ず「有効桁数が決まっているんだな」と思わなければなりません。 これは常に心してください。
２進数の「２の補数」
まず、２進数の「２の補数」について、ざっとおさらいしてみましょう。
（「それは、どういうものかは分かってる」と言いたい方もいらっしゃるでしょうが、後の説明で納得をするために、目を通しておいてください）
２進数の「２の補数」は、先頭ビット（MSB）が１なら負数、０なら正数であり、正負を反転させるには、「１の補数」を求めて１を足します。
２進数の「１の補数」は、各ビットが反転した値です。
ここでは仮に、有効桁数８桁の２進数の「２の補数」について考えてみましょう。 たとえば１００１１００１は MSB が１ですから、「２の補数の世界」では負数を表現しています。 これが何の負数なのかを知るには、まず正数にして……つまり符号を反転させれば良いわけです。
１００１１００１
↓各ビット反転（１の補数を求める）
０１１００１１０
↓１を足す（２の補数にする）
０１１００１１１
この手順を逆にすると、元の１００１１００１が得られます（正→負の符号反転）。
０１１００１１１
↓各ビット反転（１の補数を求める）
１００１１０００
↓１を足す（２の補数にする）
１００１１００１
つまり、「２の補数の世界」においては、正数０１１００１１１を符号反転して負数にしたものが１００１１００１になります。 正数０１１００１１１は１０進数では１０３ですから、１００１１００１は１０進数の－１０３を表す事になります。
（なぜ、こんなものが「負数」として使えるのか？ 今のところは、理解出来ていなくても構いません。２の補数、１の補数というものが、どうやって得られるか、それだけ憶えてしまってください）
１０進数の「１０の補数」
実は、補数という考え方は、私たちが使い慣れている１０進数でも、そのまま使えます。 上記の例では有効桁数８桁の２進数でしたが、たとえば有効桁数３桁の１０進数の補数について考えてみましょう。
１０３という１０進数があるとします。これの各桁を反転させると、どうなるでしょう。
０１２３４５６７８９
↓
９８７６５４３２１０
上記の「反転」に従うと、１０３は８９６になります。 これをとりあえず「９の補数」と呼びましょう（反転の「上下」を足すと９になるから）。
これに１を足すと８９７になります。 これをとりあえず「１０の補数」と呼びましょう（「９」に１を足したから……安易ですが）。
先ほどの２進数でやってみたような操作、「反転させて１を足す」と、どうなるのか、実際に確かめてみましょう。
１０３
↓各桁反転（９の補数を求める）
８９６
↓１を足す（１０の補数にする）
８９７
８９７
↓各桁反転（９の補数を求める）
１０２
↓１を足す（１０の補数にする）
１０３
先ほどの２進数と同様、「反転させて１を足す」と、ちゃんと「戻り」ました。
さてさて……「えっ？」と思われるかも知れませんが、有効桁数３桁の１０進数の「１０の補数」において、８９７は「－１０３」を表します！
……「何を言っているのか分からない！」、ですか？ それでは実際に試してみましょう。 適当な数、たとえば４９６について、４９６－１０３を計算してみます。 当然ですが、４９６－１０３＝３９３です。
次に、４９６＋８９７を計算してみましょう。４９６＋８９７＝１３９３です。
今、扱っていたのは、有効桁数が３の「１０の補数」でした。１３９３は、有効桁数が３ならば、３９３です。
なんということでしょう、「１０の補数」を使って、ちゃんと４９６－１０３＝３９３が計算出来ました！ ８９７は、－１０３だったのです！（「有効桁数３の『１０の補数』の世界」においては）
何だかよく分からないかも知れませんが、でも、これは、ごく当たり前の計算に過ぎません。 次の計算をご覧下さい。
４９６－１０３＝３９３
↓両辺に１０００を足してみる
４９６－１０３＋１０００＝３９３＋１０００
↓それって実は・・・「１０の補数」！
４９６＋８９７＝３９３＋１０００
↓有効桁数３桁だけ見れば・・・
４９６＋８９７＝３９３＋１０００
要するに、「３桁を反転させて１を足す」、という操作は、 １０００（４桁）から引いた数を求める事と同じなのです。 ３桁を反転させたもの同士を（つまり「元の数」と「９の補数」を）足せば９９９になるのですから、元の数と「１０の補数」を足せば当然、１０００になります。
これが、「負符号を使わず、１０の補数で引き算が出来る」理由です。 ２進数だろうが１０進数だろうが、その理屈は同じです。
なお、２進数の「２の補数」は、MSB が０か１かで正負を見分けられますが、１０進数の「１０の補数」は、最上位桁が０～４なら正で、５～９なら負となります。
まとめ
いかがでしょう、１０進数で考えてみれば、全く難しい事ではなかったと思います。
１０進数が「１０の補数」で引き算が出来るように、２進数は「２の補数」で引き算が出来る、ただそれだけの事だったのです。
先ほど書いた事を繰り返しますが、「３桁を反転させて１を足す、という操作は、 １０００（４桁）から引いた数を求める事」と等しく、これが、１０の補数で引き算が出来る理由です。 引いた数を足せば、それは引き算と同じだからです。 もちろん、これは、２進数であっても、全く同じ事です。
２進数だと、「反転して１を足す」という操作のうち、「反転」が、ちょっと鮮やかすぎて、行為の意味が分かりづらく、それで、「なんだか今ひとつ分からない」のではないでしょうか……私自身、なぜ反転するのかを、きちんと説明しているテキストを、見たことがありません。
また、１０進数で考えてみれば全く難しくはないのですが、１０進数で説明しているテキストも、私はほとんど見た事がありません。
「反転して１を足す意味は何なのか」、「１０進数ではどうなのか」、この２点さえちゃんと説明すれば、「補数で引き算」は、スッキリ理解出来るはずだと私は思います。
付記
【付記．１…呼び方について】
２進数の場合、「１の補数」とか「２の補数」だとか言っていますが、これらは、「１０－１の補数」「１０の補数」と言う方が、より良い呼び方だと私は考えています。
そもそも２進数には「２が無い」ので、「２の補数」という呼び方は、あまり良いものとは思えません。２進数の１０－１は１です。 １の補数とは、各桁の和が１になる数であり、２の補数とは、１の補数に１を加えた数です。
１０進数の１０－１は９です。 ９の補数とは、各桁の和が９になる数であり、１０の補数とは、９の補数に１を加えた数です。つまり、何進数であろうが、「１０－１の補数」「１０の補数」と言えば、必ず通用します。
……が、この呼び方は、私の知る限り、ほとんど使われていません。 今後、「１の補数」「２の補数」という言葉を聞いたら、「ああ、これは『１０－１の補数』『１０の補数』という意味なんだな」と考えていただければ、より分かりやすいと思います。
【付記．２…なぜ「２の補数」を使うのか】
ご存じの通り、コンピュータの中身は、電子回路です。 電子回路で、２進数１桁の足し算を作るのは、難しい事ではありません。 この回路を連結すれば、多ビットの足し算回路になります（ビットを反転させる回路は、さらに簡単です）。
しかし、引き算回路をまじめに作ろうとすると、桁借りがあったり、負符号をどうするのかという問題が出てきます。「２の補数」の考え方を使えば、足し算回路と反転回路だけで、引き算回路が簡単に実現出来ます。 これは便利で、しかも高速なので、現在のコンピュータは、２進数の「２の補数」をよく使うようになったのです。
【付記．３…他の方法】
負数を表現する方法は、他にもいくつかあります。 「符号に１ビットを割り当てて、他のビットは絶対値だけを扱う」のも１つの方法ですし、「有効桁数の中で、全ての整数を『ずらして』しまい、負数を扱わない」（下駄を履かせる、バイアスをかける、などという）方法もあります。
また、小数を含む実数を扱うには浮動小数点がよく使われており、多くの浮動小数点は符号を数値と独立して保持しています。
しかし、２進数回路を基本とするコンピュータにおいては、整数の加減算には「２の補数」を使うのが簡単で高速です。
【追記(2012/10/16)】
monhanpapaia さんから、「変換方法だけでなく『なぜ２の補数を使うと足し算で減算が出来てしまうのか』、その理論が欲しい」とアドバイスをいただきました。
本ノートの「まとめ」の直前に、「３桁を反転させて１を足す、という操作は、 １０００（４桁）から引いた数を求める事と同じ」だと私は書いております。 この「３桁」とか「４桁」とか「１０００」というのは、２進数だろうが３進数だろうが１０進数だろうが同じ事なのです。
補数を使う時に不可欠なのは、本ノートの「前提」ですでに書いた通り、有効桁数を決めておく事です。 上記で書いた事は、「有効桁がｎならば、ｎ桁の数値を反転させて１を足すのは、ｎ桁の最大値＋１から引いた数を求めるのと同じ」、と言い換えられます（たとえば１０進数におけるｎ桁の最大値＋１は、ｎが３なら、９９９＋１すなわち１０００です）。
「引いた数」を足す、という計算は、減算と同義です。 従って、２の補数（私は１０の補数と呼ぶことを提案しております）の加算は、減算と同義になるのです。
（転載以上）
